SISTEMA DE NUMERAÇÃO EGÍPCIO !!

Os egípcios da Antigüidade 

criaram um sistema muito interessante 

para escrever números, 

baseando em agrupamentos. 

Essa idéia de agrupar foi utilizada 

nos sistemas mais antigos de numeração.

Cada unidade era representada por :

1	2	3	4	5	6	7	8	9
I	II	III	II II	II II I	III III	III III I	IIII IIII	IIII IIII I

Ao chegar às dezenas os foram substituídos por ∩ :

10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21
∩	∩I	∩II	∩III	∩IIII	∩III II	∩III III	∩III IIII	∩IIII IIII	∩IIII IIIII	∩ ∩	∩ ∩ I

Para representar a centena 

os ∩∩∩∩∩∩∩∩∩∩ 

foram substituídos por  , 

juntando vários símbolos de 100 

escreviam o 200, 

o 300, o 400 

e assim até 900.

Dez marcas de 100 

eram trocadas pelo símbolo  , 

assim a cada marca de dez 

mudamos o símbolo. 

Veja os símbolos usados pelos egípcios 

e o que significa cada marca.

Exemplo: 

O número 568 para os egípcios 

seria escrito assim : 

∩∩∩∩∩∩ IIIIIIII 

ou seja 

100 + 100+ 100 + 100 + 100 + 10+ 10+ 10+ 10+ 10+ 10 + 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1+ 1

REGRAS DE TRÊS !!

Consta na história da matemática 

que os gregos e os romanos 

conhecessem as proporções, 

porem não chegaram a aplica-las 

na resolução de problemas.

Na idade média, 

os árabes revelaram ao mundo 

a regra de três. 

Nos Século XIII, 

o italiano Leonardo de Pisa 

difundiu os princípios dessa regra 

em seu livro Líber Abaci, 

com o nome de 

Regra de Três Números Conhecidos.

Regra de três simples 


Regra de três simples 

é um processo prático 

para resolver problemas 

que envolvam quatro valores 

dos quais conhecemos três deles. 

Devemos, portanto, 

determinar um valor 

a partir dos três já conhecidos.

Passos utilizados 

numa regra de três simples

· Construir uma tabela, 

agrupando as grandezas 

da mesma espécie 

em colunas 

e mantendo na mesma linha 

as grandezas de espécies diferentes 

em correspondência.

· Identificar se as grandezas 

são diretamente ou inversamente 

proporcionais.

· Montar a proporção 

e resolver a equação.

Exemplos : 


a) Se 8 m de tecido custam 156 reais, 

qual o preço de 12 m do mesmo tecido ?





Observe que as grandezas 

são diretamente proporcionais, 

aumentando o metro do tecido 

aumenta na mesma proporção 

o preço a ser pago.

Observe que o exercício foi montado 

respeitando o sentido das setas. 

A quantia a ser paga 

é de R$234,00.


b) Um carro, 

à velocidade de 60km/h, 

faz certo percurso em 4 horas. 

Se a velocidade do carro 

fosse de 80km/h, 

em quantas horas seria feito 

o mesmo percurso ?

Observe que as grandezas 

são inversamente proporcionais, 

aumentando a velocidade 

o tempo diminui na razão inversa.

Resolução : 

O tempo a ser gasto é 3 horas.

Regra de Três Composta 

A regra de três composta 

é utilizada em problemas 

com mais de duas grandezas, 

direta ou inversamente proporcionais. 

 Exemplo :

a) Em 8 horas, 

20 caminhões descarregam 

160 m3 de areia. 

Em 5 horas, 

quantos caminhões 

serão necessários 

para descarregar 125 m3 ? 

Aumentando o número de horas de trabalho, 

podemos diminuir o número de caminhões. 

Portanto a relação 

é inversamente proporcional 

(seta para cima na 1ª coluna).

Aumentando o volume de areia, 

devemos aumentar o número de caminhões. 

Portanto a relação 

é diretamente proporcional

(seta para baixo na 3ª coluna). 

Devemos igualar a razão 

que contém o termo x 

com o produto das outras razões 

de acordo com o sentido das setas.

Resolução :

Será preciso de 25 caminhões.

P.A. E P.G. !!

P.A.
(Progressão Aritmética)


P.G.
(Progressão Geométrica)


P.A. É uma sequência numérica
em que cada termo, 
a partir do segundo, 
é igual à somado termo anterior 
com uma constante “r”. 

O número “r” 
é chamado de razão 
da progressão aritmética, 
e vem do ”r”, 
de resto (da subtração).







Alguns exemplos 

de progressão aritmética :




P.A.(1, 4, 7, 10, 13, 16, 19, 22, 25, ...), 

em que r=3 

(por que o número do ré 

a diferença entre os números 

que vão crescendo).




P.A.(-2, -4, -6, -8, -10, -12, -14, -16, -18, ...), 

em que r=3



P.A.(6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, 6, ...), 

em que r=0





A fórmula do termo geral 

de uma progressão aritmética 

é expressa da seguinte forma:


an=a1+(n−1).r






Exemplo :


Quantos termos existem 

na P.A.(52, 49, 46, 43, ..., -71) ?



an= -71

a1= 52

n= ?

r= -3





an=a1+(n−1).r

-71=52+(n−1). -3

n= 126%3

n= 42







P.G é uma sequência numérica
em que cada termo, 
a partir do segundo, 
é igual ao produto do anterior 
por uma constante “q”.

Esta constante “q” 
é chamada razão 
da progressão geométrica.

A letra “q” foi escolhida 
por ser a inicial 
da palavra quociente.

Alguns exemplos 

de progressão geométricas :

P.G.(1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, ...), em que q=2

P.G.(-3, 9, -27, 81, -243, 729, -2187, ...), em que q=-3

P.G.(7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, 7, ...), em que q=1

P.G.(5, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, 0, ...), em que q=0

A fórmula do termo geral 

de uma progressão geométrica 

é expressa da seguinte forma :

an=a1.q^n-1

Exemplo :

Qual é o 7º termo da P.G.(2, 6, 18, ...) ?

a1= 2

n= 7

q= 3

a7= ?

a7=a1.q^n-1

a7=2.3^7-1

a7=2.3^6

a7= 1.458